Hướng dẫn cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cùng với các dạng bài tập trắc nghiệm dễ hiểu nhất. Các em tham khảo ngay để không bị mất điểm phần bài tập này nhé!
) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(A;B;C)$. Gọi $\varphi $ là góc giữa d và (P) thì $\varphi $ được tính theo công thức
$\sin \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right) \right|=\frac{\left| A.a+B.b+C.c \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}({{0}^{o}}\le \varphi ,9{{0}^{o}})$
Ký hiệu góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu không vuông góc với (P) thì với là hình chiếu của trên (P).
Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài toán THPT với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp vectơ
Gọi vectơ u = (a;b) là vectơ chỉ phương của đường thẳng a.
Gọi = , (P) là vectơ pháp tuyến của (P).
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB
B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB
D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD
Bài tập trắc nghiệm về góc trong không gian có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho hai mặt phẳng $(P):2x-y-2z-5=0$ và $(Q):x-y+1=0$. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
A. ${{30}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{135}^{o}}.$
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(2;-1;-2);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-1;0)$
Khi đó: $\cos \left( (P);(Q) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2.1+2-2.0 \right|}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{2}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{\left( (P);(Q) \right)}={{45}^{0}}$
Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng $(P):2x-y+2z-1=0$ và $(Q):x+2y-z+3=0$. Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) khi đó $\cos \alpha $ bằng
A. $-\frac{\sqrt{6}}{9}.$ B. $\frac{-2\sqrt{5}}{15}.$ C. $\frac{2\sqrt{5}}{15}.$ D. $\frac{\sqrt{6}}{9}.$
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(2;-1;2);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;2;-1)$
Khi đó: $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2-2-2 \right|}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{1+4+1}}=\frac{2}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{9}.$
Bài tập 3: Cho hai mặt phẳng $(P):mx+2y+mz-12=0$ và $(Q):x+my+z+3=0$. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và (Q) bằng ${{45}^{o}}$
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(m;2;m);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;m;1)$
Khi đó: $\cos {{45}^{o}}=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| m+2m+m \right|}{\sqrt{2{{m}^{2}}+4}.\sqrt{{{m}^{2}}+2}}=\frac{4\left| m \right|}{\sqrt{2}\left( {{m}^{2}}+2 \right)}$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4\left| m \right|}{\sqrt{2}({{m}^{2}}+2)}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2=4\left| m \right|\xrightarrow{t=\left| m \right|>0}{{t}^{2}}-4t+2=0\Rightarrow t=2\pm \sqrt{2}\Rightarrow m=\pm \sqrt{2\pm \sqrt{2}}$
Bài tập 4: Cho hai mặt phẳng $(P):4x+my+mz+1=0$ và $(Q):x-y-3=0$. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và (Q) bằng ${{60}^{o}}$
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(4;m;m);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-1;0)$
Khi đó: $\cos {{60}^{o}}=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{2{{m}^{2}}+16}.\sqrt{2}}=\frac{\left| 4-m \right|}{2\sqrt{{{m}^{2}}+8}}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{\left| 4-m \right|}{2\sqrt{{{m}^{2}}+8}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+8={{(4-m)}^{2}}\Leftrightarrow 8=16-8m\Leftrightarrow m=1$
Bài tập 5: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x}{-1}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{3}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z+2}{-3}$. Góc giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:
A. ${{0}^{o}}.$ B. ${{30}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$
$\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-1;4;3);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;-4;-3)\Rightarrow \cos ({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| -26 \right|}{\sqrt{1+16+9}.\sqrt{1+16+9}}=1.$
Do đó $\widehat{\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}={{0}^{o}}.$
Bài tập 6: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=5-2t \\ & z=14-3t \\ \end{align} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=1-4t \\ & y=2+t \\ & z=-1+5t \\ \end{align} \right.$. Góc giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:
A. ${{0}^{o}}.$ B. ${{30}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$
$\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-2;3);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-4;1;5)\Rightarrow \cos ({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| -4-2-15 \right|}{\sqrt{1+4+9}.\sqrt{16+1+25}}=\frac{21}{14\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra $\widehat{\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}={{30}^{o}}.$
Bài tập 7: Cho 4 điểm $A(1;0;0);\,B(0;1;0);\,C(0;0;1)$ và $D(-2;1;-1)$. Góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là:
A. ${{45}^{o}}.$ B. ${{30}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$
Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{AB}}}=\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-1;1;0);\overrightarrow{{{u}_{CD}}}=\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-2;1;-2)$
Khi đó: $\cos \left( \widehat{AB;CD} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2+1 \right|}{\sqrt{2}.3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( \widehat{AB;CD} \right)={{45}^{o}}.$
Bài tập 8: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+3}{1}$. Cosin góc giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:
A. $\frac{\sqrt{6}}{3}.$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2}.$ C. $\frac{1}{\sqrt{6}}.$ D.$\frac{1}{\sqrt{2}}.$
Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;2;-1);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;-2;1)\Rightarrow cos\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2-4-1 \right|}{3.\sqrt{6}}=\frac{3}{3\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.$
Suy ra $\left( \widehat{{{d}_{1}};{{d}_{2}}} \right)={{30}^{o}}.$
Bài tập 9: Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=-1+t \\ & y=-t\sqrt{2} \\ & z=2+t \\ \end{align} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1+t\sqrt{2} \\ & z=2+mt \\ \end{align} \right.$. Tìm giá trị của m sao cho góc giữa ai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ bằng ${{60}^{o}}.$
A. $m=1.$ B. $m=-1.$ C.$m=1$ và $m=-1.$ D.$m=0.$
Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-\sqrt{2};1);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;\sqrt{2};m)\Rightarrow \cos \left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 1-2+m \right|}{2.\sqrt{{{m}^{2}}+3}}=\frac{\left| m-1 \right|}{2.\sqrt{{{m}^{2}}+3}}$
Do $\left( \widehat{{{d}_{1}};{{d}_{2}}} \right)={{60}^{o}}\Rightarrow \cos {{60}^{o}}=\frac{\left| m-1 \right|}{2\sqrt{{{m}^{2}}+3}}\Leftrightarrow \frac{\left| m-1 \right|}{2.\sqrt{{{m}^{2}}+3}}=\frac{1}{2}.$
$\Leftrightarrow \left| m-1 \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+3}\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1={{m}^{2}}+3\Leftrightarrow m=-1.$
Bài tập 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-y+2z+1=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}.$ Góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $(\alpha )$ bằng
A. ${{150}^{o}}.$ B. ${{60}^{o}}.$ C. ${{30}^{o}}.$ D.${{120}^{o}}.$
Ta có$\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=(1;-1;2);\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(1;2;-1)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(\alpha );\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 1-2-2 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( \widehat{\left( \alpha \right);\Delta } \right)={{30}^{o}}.$
Bài tập 11: Cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{align} & x=6+5t \\ & y=2+t \\ & z=1 \\ \end{align} \right.$ và mặt phẳng $(P):3x-2y+1=0.$ Góc hợp giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
A. ${{30}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-2;0);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(5;1;0)\Rightarrow sin\left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 15-2 \right|}{\sqrt{13}.\sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( \widehat{(P);\Delta } \right)={{45}^{o}}.$
Bài tập 12: Cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P):3x+4y+5z+8=0.$ Góc hợp giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
A. ${{30}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;4;5);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;1)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 6+4+5 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left( \widehat{(P);\Delta } \right)={{60}^{o}}.$
Bài tập 13: Cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-3}{1}$ và mặt phẳng $(P):3x-2y+5z+3=0.$ Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) khi đó $\sin \alpha $ bằng
A. $\frac{13}{2\sqrt{57}}.$ B. $\frac{13}{\sqrt{57}}.$ C. $\frac{13}{\sqrt{75}}.$ D. $\frac{13}{2\sqrt{75}}.$
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-2;5);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;-1;1)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 6+2+5 \right|}{\sqrt{38}.\sqrt{6}}=\frac{13}{2\sqrt{57}}.$
Bài tập 14: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{-2}$ và mặt phẳng $(P):2x+y-z+5=0.$ Góc giữa $d$ và (P) là:
A. ${{60}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{30}^{o}}.$ D. ${{150}^{o}}.$
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(2;1;-1);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;-1;-2)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 2-1+2 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}.$
Suy ra $\left( \widehat{(P);\Delta } \right)={{30}^{o}}.$
Bài tập 15: Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z}{5}$ và mặt phẳng $(P):2x+my+mz-1=0.$ Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho $\alpha ={{60}^{o}}.$ Tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. 0. B. – 19. C. – 18. D. – 20.
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(2;m;m);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(3;4;5)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 6+4m+5m \right|}{\sqrt{4+2{{m}^{2}}}.\sqrt{50}}$
$\Leftrightarrow \sin {{60}^{o}}=\frac{\left| 9m+6 \right|}{10\sqrt{{{m}^{2}}+2}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\left| 9m+6 \right|}{10\sqrt{{{m}^{2}}+2}}\Leftrightarrow 3.25\left( {{m}^{2}}+2 \right)=9{{(3m+2)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 3(9{{m}^{2}}+12m+4)=25{{m}^{2}}+50\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+36m-38=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=1 \\ & m=-19. \\ \end{align} \right.$
Cách dạng bài tập tính góc trong không gian oxyz: 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng, dt và mp
Gọi $\varphi $ là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta có:
$\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right) \right|=\frac{\left| A.A'+B.B'+C.C' \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{A{{'}^{2}}+B{{'}^{2}}+C{{'}^{2}}}}({{0}^{o}}\le \varphi ,9{{0}^{o}})$
Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{2}})$và đường thẳng ${{d}_{2}}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}})$. Góc $\varphi $ giữa hai đường thẳng đó được tính theo công thức
$\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}({{0}^{o}}\le \varphi ,9{{0}^{o}})$
Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp hình học
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo góc giữa SA và (ABC).
Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên SH$\perp$ (ABC)
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)
Vậy tam giác SAH vuông cân tại H =>
Hãy để hình học không gian không còn là nỗi sợ hãi với giải pháp PAS THPT
Bài tập trắc nghiệm minh họa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng từ cơ bản đến nâng cao
Câu 1. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a; BD = 2AC. Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO (ABCD). Biết tan (SBO) = ½. Tính số đo của góc giữa SC và (ABCD):
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC):
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA\perp (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:
Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp (ABCD). Gọi là góc giữa BD và mp (SAD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Câu 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (ABCD), SA = . Gọi là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Câu 6. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Gọi là góc giữa AC và mp ( A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) là?
Câu 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy ABCD bằng 60o. Tính độ dài SA?
Câu 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính độ dài SA để góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o.
Câu 10. Cho hình chóp SABC có SA = a, SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông cân tại B, góc , AC = 2a. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB).
Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản và tổng hợp đầy đủ về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học không gian. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần kiến thức và công thức toán hình 12 phục vụ ôn thi THPT QG, truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
